EQUATIONS DE LAGRANGE

EQUATIONS DE LAGRANGE

	CONTENU : Mis à jour en décembre 2004, sept 2011 I ORIGINE DES EQUATIONS DE LAGRANGE Paramètres adaptés Equations adaptées Potentiel perturbateur Effets seculaires II APPLICATION AUX ORBITES CIRCULAIRES INCLINEES Héliosynchronisme Orbites circulaires à périgée gelé

Traitant des perturbations orbitales, dans un cours précédent, il a été présenté les équations de Gauss, valables pour tout type de perturbation, dérivant ou non d'un potentiel.

Le lecteur pourra lire les compléments pour les cas particuliers des orbites où e voisine de 0, i voisine de 0 et e, i voisines de 0 ensemble. Les liens de révision sont ci-dessous.

I ORIGINE DES EQUATIONS DE LAGRANGE :

1°) RAPPELS:

Les équations classiques de mécanique générale, sous forme d'un système différentiel d'ordre 1 à 6 variables est :

2°) EQUATIONS DE GAUSS:

Rappelons qu'en hypothèse newtonienne ou encore képlérienne, le mouvement d'un satellite ou d'une sonde dans un champ central en 1/r conduit, au sens de la mécanique classique à 6 intégrales premières du mouvement:

Q₁= a	Demi grand axe constant
Q₂= e	Excentricité constante
Q₃= i	Inclinaison orbitale constante
Q₄= w	Argument nodal du périgée constant
Q₅= W	Longitude vernale du nœud ascendant constante
Q₆= M - nt	Anomalie moyenne constante

Ceci équivaut au système simple du premier ordre: dQ_i/dt = 0, i = 1....6

Rappelons que ces 6 quantités se calculent à l'aide du rayon vecteur r, V, t vecteurs et temps au point courant. C'est l'objet du cours sur les paramètres orbitaux.

Dans le cas de perturbations réputées petites, les quantités Qi ne sont plus constantes et évoluent lentement en fonction du temps.

Dans un cours précédent il avait été établi une première formulation générale, celle des équations de Gauss

où les seconds membres sont petits.

2°) EQUATIONS DE LAGRANGE GENERALES:

Dans le cas où l'accélération perturbatrice g dérive d'une " FONCTION DE FORCE F " ou d'un POTENTIEL U ( U = - F ) , c'est à dire que

Une transformation classique canonique du système d'équations, utilisant les " CROCHETS DE LAGRANGE ", que je ne fournirait pas ici, tant les calculs sont longs et fastidieux, conduit à une formulation très symétrique du problème:

Les paramètres orbitaux sont classés a , e , i , W , w , M-nt.

Ce sont les équations de Lagrange, avec une matrice Mat(a, e, i) antisymétrique, dont les coefficients ne dépendent que des éléments dits métriques a, e, i contrairement à W, w, M qui sont appelés angulaires.

Explicitées on a :

3°) REMARQUES:

Le lecteur a évidemment noté la présence au dénominateur des variables e et i ( par le sinus ), ce qui ne manque pas de poser problème pour les orbites quasi circulaires et plus encore pour les quasi circulaires et équatoriales.

Des changements de variables dites adaptées, permettent un meilleur conditionnement des équations.

Le lecteur est renvoyé au cours sur les cas particuliers, où ces variables sont présentées. Nous donnons en II un exemple d'utilisation des équations de Lagrange et de calcul d'une fonction de force F ou du potentiel U.

4°) CAS DES ORBITES CIRCULAIRES INCLINEES :

a) PARAMETRES ADAPTES :

a	Demi grand axe
e_x = e cosw e_y = e sinw	Composantes du vecteur excentricité
i	Inclinaison orbitale
W	Longitude du nœud ascendant
a = w + M	Argument de latitude, avec M = j - e sinj

b) EQUATIONS DE LAGRANGE ADAPTEES :

Si vous en avez le courage, avec des connaissances en calcul sur les dérivées partielles, du niveau du DEUG ou des classes préparatoires, vous pouvez, partant des équations de Lagrange générale, effectuer le changement de variables et former les équations vérifiées par a, ex, ey, i, W, a pour trouver:

II EXEMPLE DE POTENTIEL:

Ce problème s'intéresse aux effets des harmoniques du potentiel terrestre liés à J2 et J3.

1°) POTENTIEL :

Nous rappelons l'expression du potentiel de gravitation prenant en compte les 2 effets d'aplatissement terrestre ( J2 ) et la forme de poire de la terre ( J3 ).

Les notations évidentes donnent la partie képlérienne et les2 parties perturbatrices.

l désigne la latitude géocentrique du point survolé par le satellite.

J₂=1.083 10^-3

J₃=2.54 10^-6

2°) POTENTIEL PERTURBATEUR :

3°) MODELISATION DES EFFETS SECULAIRES :

On note q l'angle polaire ( anomalie vraie ) du satellite et a, e, i ....les paramètres orbitaux

a) Expression en fonction de q :

Vous utilisez l'équation en polaire et la loi de latitude du point survolé pour obtenir U_p(q)

b) Représentation des effets séculaires :

A l'examen, vous constatez que le potentiel perturbateur est une fonction périodique de q. Il y a donc:

Une partie constante , dite séculaire, représentative des effets à long terme	notée U_s
Une partie périodique de moyenne nulle sur une période, qui décrit les effets instantanés à court terme.	notée U_m

c) Calcul de Us :

Vous prendrez comme variable d'intégration q. Vous reliez q et t par la loi des aires.

Vous montrez que :

Tous calculs effectués, vous arrivez à une partie séculaire de la fonction de force F = - Us qui vaut :

II APPLICATION AUX ORBITES CIRCULAIRES NON EQUATORIALES :

NB :Dans le cas d'une orbite circulaire e<<1, on développe F au deuxième ordre par rapport à l'infiniment petit e et on introduit les 2 variables adaptées e_x et e_y. On négligera aussi J3 devant J2 quand les 2 effets interviennent au même niveau de résultat

a) Fonction de force F

Vous montrerez ainsi que :

b) Equations aux perturbations séculaires :

En ne gardant dans les équations de Lagrange que les termes linéaires en ex et ey, et moyennant de poser les constantes :

	Constantes de simplification d'écriture
	Effets séculaires nuls sur a et i
	( Equations A ) d'évolution séculaires de la longitude et de l'argument de latitude, montrant une dérive constante.
	( Equations B ) d'évolution du vecteur excentricité, montrant un couplage entre les composantes.

c) HELIOSYNCHRONISME ----> Exploitation des équations A

Un satellite est dit HELIOSYNCHRONE quand la ligne des nœuds dérive autour de l'axe nord-sud à la même vitesse angulaire w_S/T que le soleil autour de la terre. Consulter le cours dédié pour constater qu'alors le satellite survole le nœud ascendant à la même heure locale à chaque révolution.

Les inclinaisons des satellites héliosynchrones sont donc supérieures à 90°et vérifient :

HELIOSYNCHRONISME <===>

i>90°

Les satellites d'imagerie spatiale sont notamment héliosynchrones ( et de plus phasés ), c'est le cas de la famille SPOT gravitant à 7200.55 km

L'application de la formule ci-dessus donne i = 98°.7

d) ORBITES A PERIGEE GELE ----> Exploitation des équations B

On pose une nouvelle variable complexe, affixe du vecteur excentricité e : e* = e_x + je_y

Le système B se réduit à une seule équation, de solution simple :

Relation qui montre que dans le plan complexe, le vecteur e décrit un cercle

Centré sur
De rayon R

Dans tous les cas le vecteur parcourt un cercle et donc l'angle w est variable. Si le cercle contient l'origine O, l'angle w varie de 0° à 360°, sinon il reste bloqué dans un intervalle.

Mais si l'on souhaite garder w constant, il faut que le rayon du cercle soit nul, ce qui suppose des conditions initiales précises et un blocage à w=90°.

Cette opération s'appelle "GELER LE PERIGEE" <===> e_x(0)=0 & e_y(0)=E

APPLICATION SPOT :

Dans le cas de SPOT la valeur à choisir, pour geler le périgée est e=1.03 10^-3

e) ORBITES D'INCLINAISON i=63°.4

Il est clair que le système B, montre que e reste constante si 5sin²i-4=0 soit i=63°.4 ou 116°.6, c'est la valeur de l'inclinaison qui est choisie par les soviétiques, pour de nombreuses applications domestiques, dont notamment les satellites Molnya.

On pourrait d'ailleurs montrer que pour les orbites elliptiques c'est cette valeur de i qui bloque w et permet de GELER le périgée sur son orbite. Voir exercice MOLNYA

Guiziou Robert décembre 2004, sept 2011